マクレディー理論の検証

ポーラーカーブを２次曲線で近似し、数式によりマクレディー理論を検証してみます。

ポーラーカーブをｘ,ｙ座標で表し、

　　

とする。(ａ,ｂ,ｃは、機体固有の定数)

原点を通り、この曲線に接する直線（最良滑空比を示す直線）は、

　　

で表され、最良滑空速度を表す、接点のｘ座標値(Ｘ1)は、

　　

　　------式１

となる。(Ｘ1は正確には実際の飛行速度ではなく水平方向の速度です。)

次に、下の図でｘ＝Ｘ1から右の領域にサーマルがあるものとし、Ｘ1より速い任意の速度(Ｘ2)で飛行し、
早くサーマルリフトに到着した後、残りの時間で(Ｌ m/s)の割合で上昇した場合の
最終的なｙ座標値(Ｇ)は、速度Ｘ2における沈下率をＹ2とすると、

　　

で表される。(下図参照)

この式でＧが極大となるＸ2を求めると、

　　

　　------式２

を得る。（地道な計算過程は省略。）

　さて、数式が続きましたが最後に式２が得られました。この式の意味は、
Ｌ(m/s)という大きさのサーマルリフトがある場合に、限られた時間内で最も高く上昇するには、
リフトの無い空間を速度Ｘ2(m/s)で飛べば良いということです。
限られた時間で最も高く上昇できるということは、早く次のサーマルへ向かえますから結果的に最も早く目標に到達できることになります。

ところでこの式を前出の式１と比較すると、

　　

　　------式１

　　

　　------式２

式１の中の（ｃ）の部分が、式２では（ｃ－Ｌ）になっています。
定数ｃは、ポーラーカーブの頂点（最小沈下のポイント）のｙ座標値を表しています。
そこが式２ではｃ－Ｌに変わっており、二つの式のちがいは、そこだけです。

すると、式１の値（Ｘ1）は、基本的なポーラーカーブで最良滑空比になる速さを表しているのですから、
式２の値（Ｘ2）は、基本的なポーラーカーブをリフト(Ｌ)の値だけ下方にシフトした場合の、
最良滑空比になる速さを表していることになります。
これはマクレディー理論の考え方と一致していることになります。

式２はリフトの強さＬと、それに対応した最適な飛行速度Ｘ2の関係を表していますから、
自分のポーラーカーブを確定するための定数ａ,ｂ,ｃが判れば
それを代入して具体的なＬとＸ2の関係式が確定し、
値は実際のフライトに使用できます。

式２を変形して、Ｘ2を横軸ｘに、リフトＬを縦軸ｙに対応させれば、
式２は下式のようになり、これはマクレディー曲線そのものになります。

　　

ちなみに上図に使っているポーラーカーブはある上級機のカーブですが、近似的な２次曲線は、
ａ= -0.015,　ｂ= -11.3,　ｃ= -0.95　くらいです。（値はすべてマイナス。単位はｍ/ｓ）

以上。